پاییز 96 - بهار 98

حل مسائل دارای تکینگي ضعیف در محیط های ناهمگن با استفاده از توابع پایه متعادل شده و روش اجزاء محدود

در تحقیق ایشان مسائلي که دارای تکینگي ضعیف یا ناپیوستگي در گرادیان تابع حل هستند برای مواد ناهمگن مورد بررسي قرار می گیرند. از آنجا که سایر رو ش های عددی استاندارد برای حل مسائل از پایه های هموار برای تقریب پاسخ استفاده می کنند و این پایه ها قادر به تطبیق خود با شرایط مجاور محدوده تکین نیستند، توابع دیگری نیز باید به پایه های اصلي اضافه شوند تا کیفیت حل را بهبود ببخشند. برای این منظور از توابع پایه متعادل شده استفاده می شود که از ارضای صورت همگن انتگرال وزني معادله دیفرانسیل به دست می آیند و مرتبه تکینگي مسئله را به صورت خودکار تشخیص می دهند. این توابع در حقیقت از پایه های اولیه ای که خود از ترکیب چندجمله ای های چبی شف نوع اول در راستای شعاعي و توابع مثلثاتي در راستای زاویه ای هستند؛ تشکیل می شوند و برای آنکه قابلیت حل مسائل دارای تکینگي به این پایه ها افزوده شود، از یک تغییر متغیر ویژه نیز استفاده می شود. در این مطالعه به علت ناهمگن بودن ماده، یک معادله دیفرانسیل با ضرائب غیرثابت بروز می کند؛ بنابراین استفاده از فرم ضعیف انتگرال وزنی بسیار حائز اهمیت است؛ چراکه در این حالت هیچگونه تغییری در ساختار ضرایب ایجاد نمی شود. مهمترین نوآوری تحقیق حاضر، به قابلیت ساخت جملات تکین صادق در عملگر معادله دیفرانسیل در فضای ناهمگن، بدون نیاز به اطلاع از مرتبه تکینگي تحلیلي آن برمی گردد. موردی که در حل معادلات دیفرانسیل با ضرایب غیرثابت با این روش وجود دارد، محاسبه انتگرال های دوبعدی ایجاد شده در آن است، که در مطالعه حاضر تکنیک ویژه ای بهکارگرفته می شود تا با استفاده از آن بتوان انتگرال های دوبعدی ایجاد شده را به صورت ترکیب انتگرال های یک بعدی اجزای ضرایب آن به دست آورد. در ادامه با  قراردادن پایه های متعادل شده تکین در کنار پایه های چندجمله ای معمول در روش اجزاءمحدود، توابع شکل جدیدی ایجاد می شود که این توابع در المان های شامل نقطه تکین در نظر گرفته می شوند و نهایتاً منجربه بهبود کیفیت پاسخ، به ویژه در مجاورت نقطه دارای تکینگي ضعیف می گردند. 

Fall 2017 - Spring 2019

Solution of problems with weak singularities in heterogeneous media using equilibrated basis functions and the finite element method

In the first part of this research a novel method is presented to solve problems with weak singularities in twodimensional heterogeneous media using equilibrated singular basis functions. This especially includes crack problems in composites of functionally graded material types. The method is mainly presented in a boundary formulation, although it may be found quite useful in other mesh-based or mesh-less approaches as the eXtended Finite Element Method (XFEM). The present research considers harmonic and elasticity problems. The most distinguished advantage of the present method is that the solution progress advances without absolutely any knowledge of the analytical singularity order of the problem. To this end the partial differential
equation of the problem is approximately satisfied in a weighted residual integration approach. Developing the formulation in a mapped polar co-ordination, primary basis functions made of Chebyshev polynomials and trigonometric functions, along with corresponding weight functions are employed. The numerical examples, either selected from the well-known literature or solved by well-established techniques, will demonstrate the
capability of the method in problems related to composite materials. In the second part, the Equilibrated Singular Basis Functions (EqSBFs) are used in the framework of the Finite Element Method (FEM) while approximately satisfy the PDE in heterogeneous media. EqSBFs are able to automatically reproduce the terms consistent with the singularity order in the vicinity of the singular point. The newly made bases are used as the complimentary part along with the polynomial bases of the FEM to construct a new set of shape functions in the elements adjacent to the singular point. The combination of the two basis sets is performed through ordinary Gauss integration inside each element. It is shown by the numerical results that the combined bases lead to the quality improvement of the solution function as well as its derivatives, especially in the vicinity of the
singularity.