Majid Kamrani
پاییز 97 - بهار 99
توسعه توابع پايه متعادل شده تکین به کمک روشهای مرزی برای مسائل ورق نازک غیرهمگن درصفحه
حل مسئله ورق های نازک دارای تکینگی ضعیف مرزی در محیط ناهمگن در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد. بسیاری از روشهای عددی از پایه های هموار برای حل مسائل استفاده می کنند. واضح است که پایه های هموار توان تطابق خود را با شرایط مجاورت تکینگی ندارند. در نتیجه باید توابع دیگری به پایه های اصلی اضافه شوند تا کیفیت حل مسئله بالا رود. به سبب این موضوع ابتدا صورت همگن معادله دیفرانسیل با استفاده از توابع پایه اولیه به صورت انتگرال وزنی ارضاء شده و در مرحله بعد با حصول توابع پایه متعادل شده، مسئله حل می شود. مزیت مهم این روش تشخیص مرتبه تکینگی مسئله به صورت خودکار و بدون نیاز به تحلیل یک مسئله معادل است. توابع پایه متعادل شده در شکل تکین خود در دستگاه مختصات قطبی، از ترکیب چندجمله ای های چبی شف نوع اول در راستای شعاعی و توابع مثلثاتی در راستای زاویه ای تشکیل می شوند. به دلیل اینکه موضوع حل، معادله بای هارمونیک دارای تکینگی ضعیف در محیط ناهمگن می باشد، از یک تغییر متغیر ویژه نیز برای گذار از فضای تکین به فضای هموار استفاده می شود. این رویکرد سبب تسهیل فرایند حل گشته و خصوصیات روش از جمله رفتار معادلات ماتریسی نهایی را بهبود می بخشد. همچنین به دلیل پدید آمدن یک معادله دیفرانسیل با ضرایب غیرثابت، به کار بردن فرم ضعیف انتگرال وزنی بسیار مهم می باشد، چرا که در این حالت هیچ‌گونه تغییری در ساختار ضرایب در اثر عملگر مشتق ایجاد نمی شود. برای این منظور از تکنیک انتگرال گیری جزءبه‌جزء در قالب روش گاوس-گرین استفاده می شود تا شکل نهایی معادله انتگرالی به دست آید. ساختن جملات تکین صادق در عملگر معادله بای هارمونیک تکین غیرهمگن بدون نیاز به اطلاع از مرتبه تکینگی، مهم‌ترین نوآوری این تحقیق می باشد. مورد دیگر که می توان به آن اشاره کرد محاسبه آسان انتگرال های دوبعدی ایجاد شده در آن است که در تحقیق حاضر با به کار بردن تکینگی ویژه، انتگرال های مذکور به صورت ترکیب انتگرالهای یکبعدی با قابلیت از پیش تعیین شدن بدست می آیند. مشاهده می شود که حاصل این مطالعه،کیفیت بسیار مطلوبی را در حل مسائل ورقهای نازک دارای تکینگی، به ویژه در مجاورت نقاط تکین به همراه می آورد.
Fall 2018 - Spring 2020
Development of equilibrated singular basis functions in the context of boundary methods for in-plane heterogeneous thin plate problems
The present thesis investigates the solution of in-plane heterogeneous thin plate problems with edge singularities based on the Kirchhoffs assumptions. As the majority of the numerical approaches employ smooth bases for interpolation, treatment of non-smooth behavior in the vicinity of singularities needs special remedies as either adaptive h-refinement of the DOFs or insertion of pre-evaluated enrichment terms consistent with the nature of the singularity. The proposition of the present dissertation is to develop a numerical method that automatically reproduce the singular terms without the need of a-priori knowledge of the singularity order. Equilibrated Singular Basis Functions are formed in the polar coordinate system, consisting from polynomial Chebyshev functions in radial direction and angular trigonometric functions. The treatment of the weak singularity for bi-harmonic problems in the heterogeneous medium is carried out using some special variables resulted from a mapping technique that transmit the singular space to a smooth one. This approach facilitates the solution procedure and improves the behavior of the final matrix equations. Considering the variable coefficients of the PDEs in heterogeneous media, a weak form of the weighted residual integration is applied through the Gauss-Green method to remove differentiation operators from the variable coefficients, in order to simplify the final relations. Construction of singularity induced terms without the need to know the analytical singularity order of the problem is the most important innovation of this research. Another innovation is the considerably easy calculation of generally complicated 2D integrals in the form of a combination of some pre-evaluated normalized one-dimensional integrals. It is observed that this study brings a very favorable quality in solving thin plates with edge singularities, especially in the vicinity of singular points.
