پاییز 99 - بهار 1401

تحلیل دینامیكی اعضای یك­بعدی ناهمگن با استفاده از توابع پایه متعادل ­شده

هدف این پژوهش بررسی رفتار دینامیکی اعضای محوری و خمشی ناهمگن با استفاده از روش بدون شبکه توابع پایه متعادل­ شده می­ باشد. استفاده از اعضای سازه­ای متشکل از مواد هدفمند با توجه به ارضای نیازهای مهندسی در دهه­ های اخیر مورد توجه قرار گرفته است. به‌کارگیری این اعضا به خوبی سبب توزیع مقاومت و وزن نسبت به اعضای با مقاطع و جنس یکنواخت می‌شود. معادلات حاکم بر این اعضا در حالت­ های محوری و خمشی سبب حصول معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم و چهارم به همراه ضرایب متغیر می‌گردد. از این رو بررسی رفتار این اعضا با توجه به متغیر بودن خصویات ذاتی و ظاهری آنها همواره سبب ایجاد چالش در حل معادلات حاکم به روش­ های عددی بوده‌است. روش توابع پایه متعادل­شده با توجه به ویژگی ذاتی آن در حل معادلات با ضرایب متغیر به عنوان گزینه ­ای بسیار کارآمد در این زمینه مدنظر است. این امر سبب به کارگیری روش توابع پایه متعادل­ شده در تحلیل دینامیکی اعضای محوری و نیز اعضای خمشی بر اساس تئوری تیر برنولی، بر مبنای روش گام ­به­ گام زمانی نیومارک در این تحقیق گردیده است. ایده اصلی این روش ارضای تقریبی معادله دیفرانسیل حاکم در قالب انتگرال باقیمانده وزنی، و حصول پایه ­های ثانویه بنام پایه ­های متعادل­ شده است. پایه ­های اولیه روش از توابع چندجمله ­ای چبی­ شف نوع اول می­ باشند که تحت اثر وزن­ های نمایی قرار می ­گیرند. در این روش میدان شتاب به صورت ترکیبی از پایه ­های اولیه حل در نظر گرفته می­شود، سپس جایگذاری آن در عملگر مسأله بمنظور ارضای تقریبی معادله همگن، سبب حصول پایه­ های جدید با قابلیت ارضای تقریبی معادله حاکم در هر گام زمانی می­ گردد. پایه­های جدید با ورود به الگوریتم نیومارک در هر گام زمانی به ارضای شرایط اولیه گام قبل و همچنین شرایط مرزی در انتهای گام زمانی می‌پردازند. با تنظیم صحیح پارامترهای حاکم، تنها اصلاح ضرایب پایه ­ها در هر گام زمانی لازم است که سبب افزایش قابل توجه سرعت حل مسئله خواهد شد. استفاده از بسط کامل جملات چبی ­شف در تمام طول عضو علاوه بر کاهش حجم محاسبات و المان­ های مورد نیاز، به ایجاد پیوستگی کامل در مولفه‌های جابجایی و تنش در تمام طول اعضا و در نتیجه بهبود دقت و همگرایی می‌انجامد. در انتها نشان داده خواهد شد که روش پیشنهادی به سادگی قابلیت اعمال برای سازه­ های متشکل از اعضای یک ­بعدی را دارا است.

Fall 2020 - Spring 2022

Dynamic Analysis of 1-D Heterogeneous Members Using the Equilibrated Basis Functions

In this thesis, dynamic behavior of heterogeneous 1D members is considered using Equilibrated Basic Functions. Structural members consisting of axially functionally graded materials as well as non-prismatic members have been employed to satisfy engineering demands in recent decades. The use of these members distributes strength and weight more efficiently than members with uniform sections or homogeneous materials. The equations governing by these members in the axial and bending deformations, lead to the second and fourth-order linear differential equations with variable coefficients. Therefore, investigating the behavior of these members due to the variability of their intrinsic and apparent characteristics has always caused a challenge in solving the governing equations by numerical methods. The method of Equilibrated basis functions is an efficient method in this field due to its inherent feature in solving equations with variable coefficients. The main idea of this method is to satisfy the governing differential equation approximately in the weighted residual integral form, and obtain a secondary set of basis functions called Equilibrated Basic Functions. The basis functions of the method are made of first-kind Chebyshev polynomial functions, being weighted by exponential functions. In the present study, the acceleration field is considered as a combination of the initial basis functions. It is then affected by the operator of the problem to approximately satisfy the homogeneous equation, in order to obtain the new basis functions capable to approximately satisfy the governing equation in every time step. In the following, the new basis functions enter the Newmark algorithm in each time step to satisfy the initial conditions of the previous step as well as the boundary conditions at the end of the time step. With the correct setting of the governing parameters, it is only necessary to modify the coefficients of the basis functions in each time step, which causes a significant increase in the progress speed of the problem. The use of the full extension of Chebyshev sentences along the entire length of the member, in addition to reducing the volume of calculations and required elements per member, causes the complete continuity of the displacement and stress along the entire length of the member. As a result, it improves the accuracy and convergence of the method. At the end, it will be shown that the proposed method can be easily applied to structures consisting of one-dimensional members.