Ali MohammadSalehi

پاییز 95 - تابستان 96 

استفاده از توابع پایه متعادل شده در روش اجزا محدود برای حل مسائل تکین مکانیک جامدات

در تحقیق ایشان حل مسائلی مورد بررسی قرار می گیرد که در محدوده فیزیکی خود دارای تکینگی ضعیف، به معنای ناپیوستگی در مشتقات میدان پتانسیل هستند. از آنجا که اکثر روش های عددی استاندارد برای حل مسائل از پایه های هموار برای تقریب پاسخ استفاده می کنند و این پایه ها قادر به تطبیق خود با شرایط مجاور نقاط تکین نیستند، معمولاً توابع اضافه ای که دارای قابلیت مذکور باشند برای بهبود کیفیت حل به پایه های اصلی روش افزوده می شوند. به دلیل این که این توابع لزوماً در معادله دیفرانسیل موردنظر صدق نکرده و مرتبه تکینگی آنها عموماً با مرتبه تکینگی مسئله متفاوت است، در این تحقیق برای بهبود پاسخ از توابعی استفاده می شود که صورت همگن معادله دیفرانسیل مورد نظر را ارضا کرده باشند و بتوانند مرتبه تکینگی مسئله را به صورت خودکار تشخیص دهند. در این تحقیق از روش توابع پایه متعادل شده برای ساخت پایه های تکین استفاده شده است. توابع پایه متعادل شده از ارضای تقریبی معادله به صورت انتگرال وزنی ترکیب پایه های اولیه به دست می آیند. پایه های اولیه مذکور از ترکیب چندجمله ای های چبیشف نوع اول در راستای شعاعی و توابع مثلثاتی در راستای زاویه ای تشکیل می شوند. برای افزودن قابلیت حل مسائل تکین به این پایه ها، از یک تغییر متغیر ویژه استفاده می شود. توابع وزن مورد استفاده در ارضای تقریبی معادله نیز در راستای شعاعی به شکل نمایی و در راستای زاویه ای به صورت توابع مثلثاتی هستند. در این تحقیق از توابع پایه متعادل شده به صورتی که توضیح داده شد به عنوان پایه های جدید در کنار پایه های چندجمله ای معمول روش اجزا محدود برای ساخت مجموعه ای از توابع شکل جدید استفاده می شود. این توابع شکل در المان های شامل نقطه تکین یا در مجاورت این نقطه در نظر گرفته می شوند. در نتایج عددی ارائه شده از این تحقیق نشان داده خواهد شد که ترکیب این پایه ها با پایه های معمول در روش اجزا محدود، همگام با حفظ خواص مهم این روش منجر به بهبود کیفیت پاسخ آن به ویژه در مجاورت نقطه دارای تکینگی ضعیف خواهد شد.

Fall 2016 - Spring 2017

Implementation of equilibrated basis functions in Finite Element Method for singular problems in solid mechanics

In this research, solution of problems with a weak singularity in their physical domain is of concern. The concept of weak singularity deals with a discontinuity in the derivatives of the potential field. Most of the standard numerical methods employ smooth bases in the approximation procedure, which are not able to adapt themselves at the vicinity of the singular point. Thus some additional bases having the mentioned capability are added to the normal basis set, which leads to the improvement of the local as well as overall solution quality. In the well-known literature, the so called basis functions do not usually satisfy the governing Partial Differential Equation (PDE), and their singularity order is generally different from the actual order of the problem. In this research a new set of singular basis functions are used in the framework of the Finite Element Method (FEM) which approximately satisfy the homogeneous PDE and are able to automatically reproduce the terms consistent with the singularity order in the vicinity of the singular point. The terms are made up of Equilibrated Singular Basis Functions (EqSBFs), as a result of approximately satisfying the PDE through a weighted residual integration. The initial bases are composed of the Chebyshev polynomials of the first kind in radial direction, and trigonometric functions in angular direction. To add the capability of solving singular problems to these bases, a special mapping scheme has been used. The newly made bases are used as the complimentary part along with the polynomial bases of the FEM to construct a new set of shape functions in the elements adjacent to the singular point. The combination of the two basis sets is performed through ordinary Gauss integration inside each element. Interpolation of the solution function in the singularity affected area should be performed through a unified definition of the singular portion of the solution throughout the singular elements. The proposed technique imposes no more unknowns than the so called nodal values of the element grid. It is shown by the numerical results that the combined bases lead to the quality improvement of the solution function as well as its derivatives, especially in the vicinity of the singularity.